開普勒定律

①橢圓定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。

②面積定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過的面積相等。

③調和定律：所有行星繞太陽一周的恒星時間()的平方與它們軌道半長軸(ai)的立方成比例，即。

此后，學者們把第一定律修改成為：所有行星（和彗星）的軌道都屬于圓錐曲線，而太陽則在它們的一個焦點上。第二定律只在行星質量比太陽質量小得多的情況下才是精確的。如果考慮到行星也吸引太陽，這便是一個二體問題。經過修正后的第三定律的精確公式為：（式中m1和m2為兩個行星的質量；ma為太陽的質量）。

數學推導

開普勒定律是關于行星環(huán)繞太陽的運動，而牛頓定律更廣義的是關于幾個粒子因萬有引力相互吸引而產生的運動。在只有兩個粒子，其中一個粒子超輕于另外一個粒子，這些特別狀況下，輕的粒子會環(huán)繞重的粒子移動，就好似行星根據開普勒定律環(huán)繞太陽的移動。然而牛頓定律還容許其它解答，行星軌道可以呈拋物線運動或雙曲線運動。這是開普勒定律無法預測到的。在一個粒子并不超輕于另外一個粒子的狀況下，依照廣義二體問題的解答，每一個粒子環(huán)繞它們的共同質心移動。這也是開普勒定律無法預測到的。

開普勒定律，或者是用幾何語言，或者是用方程，將行星的坐標及時間跟軌道參數相連結。牛頓第二定律是一個微分方程。開普勒定律的導引涉及解微分方程的藝術。我們會先導引開普勒第二定律，因為開普勒第一定律的導引必須建立于開普勒第二定律。

數學證明

第一定律的證明

設定

這樣，角速度是

對時間微分和對角度微分有如下關系：

根據上述關系，徑向距離 對時間的導數為：

再求一次導數：

代入徑向運動方程 ，

將此方程除以 ，則可得到一個簡單的常系數非齊次線性全微分方程來描述行星軌道：

為了解這個微分方程，先列出一個特解

再求解剩余的常系數齊次線性全微分方程，

它的解為

這里， 與 是常數。合并特解和與齊次方程解，可以得到通解

選擇坐標軸，讓 。代回 ，

其中， 是離心率。

這是圓錐曲線的極坐標方程，坐標系的原點是圓錐曲線的焦點之一。假若 ，則 所描述的是橢圓軌道。這證明了開普勒第一定律。

第二定律的證明

開普勒第二定律是這么說的：在相等的時間內，行星與恒星的連線掃過的面積相等。O為恒星，直線AC為行星不受引力時的軌跡。設行星從A到B、從B到C所用的時間間隔Δt相等，A處的時刻為t1，B為t2，C為t3。假設行星不受O的引力作用，那么這時掃過的面積SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。行星受到引力作用了，因為引力的方向時刻指向恒星，所以在從t1到t3這段

時間里，行星所受的引力的方向的總效果應該沿著BO方向（這需要一點向量的知識）。因此，t3時刻行星的位置C’應該由兩個向量相加而得到：向量AC 向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等價于CC’）。這樣，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因為Δt是任取的，所以在相等的時間內，行星與恒星的連線掃過的面積相等。

第三定律的證明

在圖中，A，B分別為行星運動的近日點和遠日點，以 和 分別表示行星在該點的速度，由于速度沿軌道切線方向，可見 和 的方向均與此橢圓的長軸垂直，則行星在此兩點時對應的面積速度分別為

……………………………………{1}

根據開普勒第二定律，應有 ，因此得

……………………………………………{2}

行星運動的總機械能E等于其動能與勢能之和，則當他經過近日點和遠日點時，其機械能應分別為

…………{3}

根據機械能守恒，應有 ，故得

……………………{4}

由{2}{4}兩式可解得

………………………………{5}

由{5}式和{1}式得面積速度為

橢圓的面積為 ,則得此行星運動周期為

…………………………{6}

將{6}式兩邊平方，便得

注： 是半長軸， 是半短軸， 是半焦距

適用范圍

開普勒第二定律

開普勒定律適用于宇宙中一切繞心的天體運動。在宏觀低速天體運動領域具有普遍意義。對于高速的天體運動，開普勒定律提供了其回歸低速狀態(tài)的方程。

也就是說，開普勒第二定律及其引出的推論，不僅適用繞太陽運轉的所有行星，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星，還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。

僅適用于宏觀低速運動的天體。提出的時候并沒有給出嚴格的證明，但是為后來許多定律的證明奠定了基礎。

開普勒第三定律

開普勒定律是一個普適定律，適用于一切二體問題。開普勒定律不僅適用于太陽系，他對具有中心天體的引力系統(tǒng)（如行星-衛(wèi)星系統(tǒng)）和雙星系統(tǒng)都成立。圍繞同一個中心天體運動的幾個天體，它們軌道半徑三次方與周期的平方的比值（R^3/T^2）都相等，為（GM/4π^2），為中心天體質量。這個比值是一個與行星無關的常量，只與中心體質量有關，那么M相同是這個比值相同。

發(fā)展簡史

發(fā)現背景

開普勒定律是開普勒發(fā)現的關于行星運動的定律。他于1609年在他出版的《新天文學》上發(fā)表了關于行星運動的兩條定律，又于1618年，發(fā)現了第三條定律。 開普勒很幸運地能夠得到著名丹麥天文學家第谷·布拉赫20多年所觀察與收集的非常精確的天文資料。大約于1605年，根據布拉赫的行星位置資料，沿用哥白尼的勻速圓周運動理論，通過4年的計算發(fā)現第谷觀測到的數據與計算有8’的誤差，開普勒堅信第谷的數據是正確的，從而他對“完美”的神運動（勻速圓周運動）發(fā)起質疑，經過近6年的大量計算，開普勒得出了第一定律和第二定律，又經過10年的大量計算，得出了第三定律。開普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派在天文學與物理學上極大的挑戰(zhàn)。他主張地球是不斷地移動的；行星軌道不是周轉圓（epicycle）的，而是橢圓形的；行星公轉的速度不等恒。這些論點，大大地動搖了當時的天文學與物理學。經過了幾乎一世紀披星戴月，廢寢忘食的研究，物理學家終于能夠用物理理論解釋其中的道理。牛頓利用他的第二定律和萬有引力定律，在數學上嚴格地證明開普勒定律，也讓人們了解其中的物理意義。

行星軌道

太陽是宇宙的中心，地球和其他行星一樣繞太陽公轉，16世紀天文學家哥白尼以其大膽的洞察力，提出了太陽系這一引領時代的全新理論，從而帶來了一場科技革命。但是直到半個世紀后，德國數學家開普勒利用丹麥天文學家布第谷·布拉赫提供的觀察數據，才繪制出了第一張精確的太陽系地圖。開普勒的辛勞鞏固了哥白尼的理論。他孤軍奮戰(zhàn)，終于用第谷·布拉赫的觀察數據，準確闡述了行星的運動。在有生之年，他的成就沒有得到承認，但他的洞察力仍然是現代宇宙理論的基礎。

開普勒

開普勒（JohannesKepler，1571-1630），德國天文學家。開普勒于1571年12月27日出生在一個德國小市民家庭。他一來到人世間就遭到了許多不幸，天花使他成了麻子，猩紅熱弄壞了他的雙眼。

17歲那年，開普勒進入了連蒂賓根大學學習，攻讀神學，1591年他獲得了神學碩士學位。但因父親負債累累，使他不得不中途退學。由于他體弱多病，他的父母認為他只適合做一名牧師，因為這個職業(yè)輕松一些?？墒情_普勒的數學才華非常出眾，當他了解到一些有關自然科學的理論之后，就把當牧師的想法拋得一干二凈，終于在奧地利的一所大學里教了自然科學。

1600年，30歲的開普勒貿然給素不相識的丹麥天文學家第谷寫信。他把自己研究天文學的成果和想法告訴了第谷。第谷看后，對開普勒的才華驚嘆不已，立即寫信邀請他來當自己的助手。但是開普勒來到第谷的身邊僅10個月，老人便去世了。開普勒繼承了這位老人留下的非常寶貴的資料，其中包括老人對火星運動的觀測。

開普勒利用第谷多年積累的觀測資料，仔細分析研究，發(fā)現了行星沿橢圓軌道運行，并且提出行星運動三定律（即開普勒定律），為牛頓發(fā)現萬有引力定律打下了基礎。

在第谷的工作基礎上，開普勒經過大量的計算，編制成《魯道夫星表》，表中列出了1005顆恒星的位置。這個星表比其他星表要精確得多，因此直到十八世紀中葉，《魯道夫星表》仍然被天文學家和航海家們視為珍寶，它的形式幾乎沒有改變地保留到今天。

開普勒主要著作有《宇宙的神秘》、《光學》、《宇宙和諧論》、《哥白尼天文學概要》、《彗星論》和《稀奇的1631年天象》等。其中，在《宇宙和諧論》中，開普勒找到了最簡單的世界體系，只需7個橢圓就可以描述天體運動的體系了；在《彗星論》中，他指出彗星的尾巴總是背著太陽，是因為太陽排斥彗頭的物質造成的，這是距今半個世紀以前對輻射壓力存在的正確預言；此外，開普勒還發(fā)現了大氣折射的近似定律。為了紀念開普勒的功績，國際天文學聯合會決定將1134號小行星命名為開普勒小行星。

發(fā)現過程

1601年，第谷逝世。約翰·開普勒接替了第谷的工作，開始編制魯道夫星表。但開普勒的興趣和注意力卻更多的放在改進和完善哥白尼的日心說上，在探討行星軌道性質的研究上。他發(fā)現第谷的觀測數據，與哥白尼體系、托勒密體系都不符合。他決心尋找這種不一致的原因和行星運行的真實軌道。

最初的研究從觀測與理論差異突出的火星著手。他運用傳統(tǒng)的勻速圓周運動加偏心圓來計算，均遭到失敗。經過長達4年近70次各種行星軌道形狀設計方案的計算，開普勒認識到哥白尼體系的勻速圓周運動和偏心圓的軌道模式與火星的實際運動軌道不符。于是他大膽的拋棄了統(tǒng)治人類思想達2000年之久的“勻速圓周運動”偏見，嘗試用別的幾何曲線來表示火星軌道的形狀。他認為行星運動軌道的焦點應該在產生引力中心的太陽上，并進而斷定火星運動的線速度不是勻速的，近太陽時快些，遠太陽時慢些并得出結論：太陽至火星的直徑在一天內掃過的面積是相等的。開普勒把這結論推廣到其他行星上，結果也是與觀測數據相符。就這樣，他首先得到了行星運行的等面積定律。隨后他發(fā)現火星運行的軌道不是正圓，而是焦點位于太陽上的橢圓，他把這結論應用于其他行星也是適用的。于是他又得到了行星運行的橢圓軌道定律。這兩條定律發(fā)表在他1609年出版的《新天文學》一書上。但他對自已取得的成就還不滿足。他渴望找到一種能適合所有行星的總體模式，把各行星聯系在一起。他堅信存在著一個把全體行星完整地聯系在一起的簡單法則。

在這個信念鼓舞下，開普勒忍受著個人在家庭方面遭受的巨大不幸，在很少有人了解和支持的困難條件下，經過九年的反復計算和假設，終于在1618年找到在大量觀測數據后面隱匿的數的和諧性：行星公轉周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。這就是周期定律。1619年，他在《宇宙的和諧》一書中介紹了第三定律，他情不自禁地寫道："認識到這一真理，這是超出我的最美好的期望的。大局已定，這本書是寫出來了，可能當代有人閱讀，也可能是供后人閱讀的。它很可能要等一個世紀才有信奉者一樣，這一點我不管了。"

開普勒的三定律是天文學的又一次革命，它徹底摧毀了托勒密繁雜的本輪宇宙體系，完善和簡化了哥白尼的日心宇宙體系。開普勒對天文學最大的貢獻在于他試圖建立天體動力學，從物理基礎上解釋太陽系結構的動力學原因。雖然他提出有關太陽發(fā)出的磁力驅使行星作軌道運動的觀點是錯誤的。但它對后人尋找出太陽系結構的奧秘具有重大的啟發(fā)意義，為經典力學的建立、牛頓的萬有引力定律的發(fā)現，都作出重要的提示。

被稱為“星子之王”的第谷·布拉赫在天體觀測方面獲得不少成就，死后留下20多年的觀測資料和一份精密星表。他的助手開普勒利用了這些觀測資料和星表，進行新星表編制。然而工作伊始便遇到了困難，按照正圓軌道來編制火星運行表一直行不通，火星這個“狡猾家伙”總不聽指揮，老愛越軌。經過一次次分析計算，開普勒發(fā)現，如果火星軌道不是正圓，而是橢圓，那么矛盾不就煙消云散了嗎。經過長期細致而復雜計算以后，他終于發(fā)現：行星在通過太陽的平面內沿橢圓軌道運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。這就是行星運動第一定律，又叫“軌道定律”。

當開普勒繼續(xù)研究時，“詭譎多端”的火星又將他騙了。原來，開普勒和前人都把行星運動當作等速來研究的。他按照這一方法苦苦計算了1年，卻仍得不到結果。后來他發(fā)現，在橢圓軌道上運行的行星速度不是常數，而是在相等時間內，行星與太陽的連線所掃過的面積相等。這就是行星運動第二定律，又叫“面積定律”。

開普勒又經過9年努力，找到了行星運動第三定律：太陽系內所有行星公轉周期的平方同行星軌道半長徑的立方之比為一常數，這一定律也叫“調和定律”。

定律影響

首先，開普勒定律在科學思想上表現出無比勇敢的創(chuàng)造精神。遠在哥白尼創(chuàng)立日心宇宙體系之前，許多學者對于天動地靜的觀念就提出過不同見解。但對天體遵循完美的均勻圓周運動這一觀念，從未有人敢懷疑。開普勒卻毅然否定了它。這是個非常大膽的創(chuàng)見。哥白尼知道幾個圓合并起來就可以產生橢圓，但他從來沒有用橢圓來描述過天體的軌道。正如開普勒所說，“哥白尼沒有覺察到他伸手可得的財富”。

其次，開普勒定律徹底摧毀了托勒密的本輪系，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來，為它帶來充分的完整和嚴謹。哥白尼拋棄古希臘人的一個先入之見，即天與地的本質差別，獲得一個簡單得多的體系。但它仍須用三十幾個圓周來解釋天體的表觀運動。開普勒卻找到最簡單的世界體系，只用七個橢圓說就全部解決了。從此，不須再借助任何本輪和偏心圓就能簡單而精確地推算行星的運動。

第三，開普勒定律使人們對行星運動的認識得到明晰概念。它證明行星世界是一個勻稱的（即開普勒所說的“和諧”）系統(tǒng)。這個系統(tǒng)的中心天體是太陽，受來自太陽的某種統(tǒng)一力量所支配。太陽位于每個行星軌道的焦點之一。行星公轉周期決定于各個行星與太陽的距離，與質量無關。而在哥白尼體系中，太陽雖然居于宇宙“中心”，卻并不扮演這個角色，因為沒有一個行星的軌道中心是同太陽相重合的。

由于利用前人進行的科學實驗和記錄下來的數據而作出科學發(fā)現，在科學史上是不少的。但像行星運動定律的發(fā)現那樣，從第谷的20余年辛勤觀測到開普勒長期的精心推算，道路如此艱難，成果如此輝煌的科學合作，則是罕見的。這一切都是在沒有望遠鏡的條件下得到的！